Matriks

Matriks

Didefinisikan sebagai susunan angka dalam bentuk segi empat dan dapat digunakan untuk mempresentasikan suatu sistem persamaan linear.

m menyatakan urutan baris dan n menyatakan urutan kolom. Dengan penulisan ordo matriks .

A. Penjumlahan Matriks

Operasi penjumlahan dua matriks dilakukan antara nilai yang memiliki posisi baris dan kolom yang sama.

B. Pengurangan Matriks

Sama halnya seperti penjumlahan, pengurangan dua matriks dilakukan antara nilai yang memiliki posisi baris dan kolom yang sama.

C. Perkalian Matriks dengan Konstanta

Kita dapat mengalikan suatu matriks dengan sebuah konstanta (pada kasus ini konstanta = 2) dengan cara seperti dibawah ini.

D. Perkalian antar Matriks

Dilakukan dengan cara mengalikan antara elemen-elemen pada baris dengan elemen-elemen pada kolom lalu dijumlahkan. Berikut contoh perkalian antar matriks ordo 3 × 3.

E. Transpose Matriks

Dalam bahasa Indonesia, arti transpose adalah perubahan posisi. Sehingga tujuan transpose matriks adalah untuk mengubah posisi dengan cara menukar baris dengan kolom matriks.

F. Eliminasi Gauss-Jordan

Sebelum mempalajari pembagian matriks, kalian harus mengetahui terlebih dahulu metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini digunakan untuk mencari hasil dari suatu sistem persamaan linear dengan cara eliminasi. Apabila dirubah ke bentuk matriks, hasil akhir eliminasi ini menjadi bentuk matriks identitas.

Matriks identitas adalah matriks persegi yang berisi angka 1 dan 0. Posisi angka 1 harus membentuk satu garis diagonal sedangkan angka 0 mengisi tempat lainnya.

Contoh penggunaan eliminasi Gauss-Jordan pada penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel :

Terdapat 3 persamaan linear di bawah ini :

2X + 2Y + 2Z = 6

2X + 3Y + 4Z = 8

X + 2Y + 5Z = 12

Tentukan nilai X, Y, dan Z !

Rubahlah bentuk 3 persamaan linear diatas menjadi matriks.

Untuk merubah matriks di kiri menjadi matriks identitas di kanan, maka perlu dilakukan eliminasi.

Apabila bilangan a₁₁ ≠ 1, maka seluruh bilangan pada baris tersebut bisa dibagi dengan bilangan a₁₁ yaitu 2.

Eliminasikan baris II dan III hingga angka pada kotak bergaris jingga bernilai 0.

sehingga bila dieliminasikan menjadi :

masukkan hasil eliminasi di atas ke baris II sehingga

Eliminasi  III dengan I

masukkan hasil eliminasi di atas ke baris III sehingga

agar sesuai dengan matriks identitas maka bilangan yang ada pada kotak jingga di atas harus = 0.

Eliminasi I dengan II

masukkan hasil eliminasi di atas ke baris I sehingga

Eliminasi III dengan II

masukkan hasil eliminasi di atas ke baris III sehingga

Bilangan a₃₃ perlu dirubah menjadi angka 1 dengan membagi seluruh baris dengan bilangan a₃₃ = 2.

Eliminasikan baris I dan II hingga angka pada kotak bergaris jingga bernilai 0.

Eliminasi I dengan III

masukkan hasil eliminasi di atas ke baris I sehingga

Eliminasi II dengan III

masukkan hasil eliminasi di atas ke baris II sehingga

matriks diatas sudah berubah bentuk menjadi matriks identitas sehingga nilai X, Y, dan Z dapat diketahui.

Sehingga X = 4,5, Y = -5, dan Z = 3,5.

G. Pembagian Matriks

Pada kenyataanya, operasi pembagian tidak dapat dilakukan pada matriks. Pembagian matriks perlu dirubah ke bentuk invers dan hanya bisa dilakukan untuk matriks persegi (baris dan kolom memiliki jumlah yang sama).

B^-1 adalah bentuk invers dari B. Ketentuan invers matriks adalah sebagai berikut.

G.1. Invers Matriks Ordo 2x2

Posisi a dan d ditukar, sedangkan untuk b dan c diberi tanda negatif. Setelah itu dikalikan dengan 1/det, det ≠ 0.

G.2. Invers Matriks Menggunakan Operasi Baris Dasar / Gauss-Jordan

Metode ini digunakan untuk invers matriks ordo 3X3 keatas dengan cara menyandingkannya dengan matriks identitas ordo yang sama. Perhatikan contoh berikut.

Carilah invers matriks dari A !

Sandingkan matriks A tersebut dengan matriks identitas,

rubahlah matriks A menjadi matriks identitas dengan eliminasi,

sehingga hasil  invers dari A 

  

G.3. Invers Matriks Menggunakan Minor, Kofaktor, dan Adjoin

Terdapat 4 langkah dalam metode invers ini yaitu menghitung matriks minor,merubahnya menjadi matriks kofaktor, adjoin, dan mengkalikannya dengan  1/det . Perhatikan contoh berikut!

Carilah invers matriks dari A !

Merubah matriks diatas menjadi matriks minor menggunakan perhitungan determinan.

Keseluruhan perhitungan matriks menjadi,

selanjutnya merubah matriks minor menjadi matriks kofaktor,

 

lakukan proses transpose pada matriks kofaktor atau dengan cara cepat menukar posisi 2 elemen pada satu garis diagonal (matriks kofaktor dan proses transpose adalah cara merubah bentuk matriks menjadi adjoin).

Sekarang tentukan nilai determinan. Karena elemen-elemen kofaktor sudah ditentukan, cara paling mudah menghitung nilai determinan adalah mengkalikan masing-masing elemen pada satu baris matriks A dengan elemen matriks kofaktornya lalu dijumlahkan.

Elemen dari baris I : 3, 0, -2

Kofaktor dari baris I : -2,-3, 1

Determinan = (3 × -2) + (0 × -3) + (-2 × 1) = -8

Kalian dapat mencari nilai determinan dari baris ke II dan III dengan hasil yang sama yaitu -8.

Sama seperti invers matriks ordo 2 × 2, untuk mencari invers menggunakan rumus: